Caractérisation scalaire d'un plan de l'espace

Propriété

Soit \(\text A\) un point de l'espace et \(\overrightarrow{n}\) un vecteur non nul de l'espace.

1. Il existe un unique plan passant par \(\text A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .

2. Ce plan est l'ensemble des points \(\text M\) de l'espace tels que \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) .

Démonstration  

1. Existence
Soit \(\overrightarrow{n}\) un vecteur de l'espace. On admet l'existence de deux vecteurs \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v\) tels que \(\left(\overrightarrow u, \overrightarrow v, \overrightarrow n\right)\) soit une base orthogonale de l'espace. Les vecteurs \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v\) ne sont pas colinéaires, et sont tous les deux orthogonaux à \(\overrightarrow{n}\) . Le plan \(P\) passant par \(\text A\) et dirigé par \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v\) convient.

Unicité
Soit un autre plan \(P_1\)  passant par \(\text A\) et de vecteur normal   \(\overrightarrow{n}\) . Alors la droite passant par  \(\text A\) et dirigée par \(\overrightarrow{n}\)   est orthogonale à la fois à \(P\) et à \(P_1\) . Donc les plans sont parallèles entre eux. Or ils passent pas un même point  \(\text A\) , ils sont donc confondus.

2. Démonstration du second point

• Soit   \(\text M\)   un point du plan   \(P\)   passant par \(\text A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .
  Alors le vecteur  \(\overrightarrow{\text A\text M}\)  est un vecteur de la direction du plan   \(P\) .
  Donc ce vecteur est orthogonal au vecteur   \(\overrightarrow{n}\) . Alors   \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) .
  
• Soit le plan   \(P\)   passant par \(\text A\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) .
  Soit \(\text M\)   un point de l'espace qui vérifie  \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) . Montrons que  \(\text M \in P\) .
  Soit \(\text H\)  le projeté orthogonal de  \(\text M\)  s ur la droite \(d\) passant par \(\text A\) et dirigée par  \(\overrightarrow{n}\) .
  Alors  \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n} = \overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}\) . Or  \(\overrightarrow{\text A\text M}\cdot \overrightarrow{n}=0\) , donc  \(\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=0\) .
  Comme   \(\text A\)   et   \(\text H\)   sont des points de   \(d\) , alors  \(\overrightarrow{\text A\text H}\)  et  \(\overrightarrow{n}\)  sont colinéaires, donc  \(0=\overrightarrow{\text A\text H}\cdot \overrightarrow{n}=|\text A\text H| \times ||\overrightarrow{n}||\) . 
  Mais  \(\overrightarrow{n}\)  est un vecteur non nul, donc sa norme n'est pas nulle. Donc cela implique que  \(|\text A\text H|=0\) . Cela signifie que \(\text A=\text H\) .
  Ainsi le projeté orthogonal de  \(\text M\)  sur   \(d\)  est le point   \(\text A\) , donc \(\text M\) appartient à  \(P\) .